AtCoder Beginner Contest 113 参戦記 - 銀の弾丸を探して

今度こそは水色へ、と意気込んだABC113。

C完でDも解法はある程度わかったのですが、実装で手間取って例題を通す前に時間切れとなりました。

うーん、水色目前で停滞中です。

A - Discount Fare

問題

https://beta.atcoder.jp/contests/abc113/tasks/abc113_a

解法

X + (Y/2) を出力するだけ

実装

x,y=gets.chomp.split.map(&:to_i)
puts x+y/2

B - Palace

問題

https://beta.atcoder.jp/contests/abc113/tasks/abc113_b

解法

各H_i毎に平均気温とA度との差の絶対値を計算し、それが最小の時のiを出力すればよい。

実装

n=gets.to_i
t,a=gets.chomp.split.map(&:to_i)
h=gets.chomp.split.map(&:to_i)

m=Float::INFINITY
ans=0
h.each_with_index do |v, i|
    mm = (a-(t-v*0.006)).abs
    if mm < m
        ans = i+1
        m = mm
    end
end
puts ans

C - ID

問題

https://beta.atcoder.jp/contests/abc113/tasks/abc113_c

解法

各市を読み込みながら、各県に誕生年を振り分けていく。

全て読み込んだら、各県毎の誕生年をソートして各市の順番（x番目）を決定する。

最後に各市毎に認識番号を出力していく。

ということで、考え方自体はそんなに難しくないが、誕生年の順番をどのように知るかにちょっと工夫が必要。

実装

実装としては、配列とハッシュを使って以下のようにした。

まず、各県ごとに誕生年を配列に格納してから最後にソートする。

その後、配列を先頭から見ていき、誕生年をキー、順番を値とするハッシュに格納する。

認識番号を決める際はこのハッシュを使って誕生年から順番を取得するようにする。

n,m=gets.chomp.split.map(&:to_i)
p = []
y = []

py = Array.new(n+1).map{Array.new()}

m.times do |i|
    pp, yy = gets.chomp.split.map(&:to_i)
    p << pp
    y << yy

    py[pp] << yy
end

ph = Array.new(n+1).map{Hash.new()}
py.each_with_index do |v, i|
    v.sort!
    v.each_with_index do |vv, j|
        ph[i][vv] = j+1
    end
end

0.upto(m-1) do |i|
    printf("%06d%06d\n", p[i], ph[p[i]][y[i]])
end

D - Number of Amidakuji

問題

https://beta.atcoder.jp/contests/abc113/tasks/abc113_d

解法

あと一歩で解けなかったD問題。

取りかかってから10分ぐらいで動的計画法を使うっていうのは分かったんだけど、実装に手間取って例5を通すことが出来なかった。

この問題のポイントは、動的計画法の漸化式をどうたてるか、と、各縦線の数に対して有効な横線の引き方が1段について何通りあるか、です。

漸化式の考え方

i番目の行まで横線が引き終わっている時にj列目に存在するときの組み合わせをDP[i][j]とします。

すると、i+1番目でj列にいく組み合わせは

DP[i+1][j] = DP[i][j-1] x (j-1とjの間に線を引くときの組み合わせ)+ DP[i][j] x (j-1とjとj+1の間に線を引かない組み合わせ)+ DP[i][j+1] x (jとj+1の間に線を引くときの組み合わせ)

で求められます。

例を使って説明します。

i+1番目で4列目にいけるのは、i番目で3列目、4列目、5列目にいる場合です。

3列目にいる場合は、3列目と4列目の間に横線を引く必要があります。この場合、それ以外の場所については、左側は1、2列目の間、右側は5、6列目の間の横線の引き方の組み合わせとなります。

4列目にいる場合は、3列目と4列目、及び、4列目と5列目の間に横線を引いてはいけません。この場合、それ以外の場所については、左側は1、3列目の間、右側は5、6列目の間の横線の引き方の組み合わせとなります。

5列目にいる場合は、4列目と5列目の間に横線を引く必要があります。この場合、それ以外の場所については、左側は1、3列目の間、右側はこれ以上横線は引けません。

f:id:taka_xyz:20181107151251p:plain

有効な横線の引き方

では、あみだくじとして有効な横線の引き方をどう算出するかです。

これも漸化式の考え方で求めることが出来ます。

縦棒の数がi本の時の一行分の線の引き方をS_{i_{とします。}}

このとき、漸化式は以下のようになります。

$S_{i+1} = S_{i-1} + S_{i}$

これは、i列目とi+1列目に横棒を引く場合はi-1列目とi列目に横棒は引けないのでそれより左側の組み合わせはS_i-1通りとなり、i列目とi+1列目に横棒を引かない場合はそれより左側の組み合わせはS_i通りになるためです。

f:id:taka_xyz:20181107151032p:plain

ちなみにこれはフィボナッチ数列になります。なお、今回の問題は縦棒は8本までしかないので、数列はハードコードしてしまってます。

実装

以下の実装では、左端と右端は場合分けしていますが、両端に0の列を追加すればもう少し綺麗なるかも。

h,w,k=gets.chomp.split.map(&:to_i)
dp=Array.new(h+1).map{Array.new(w)}

MOD = 1000000007

nn = [1,2,3,5,8,13,21,34]

dp[0][0] = 1
1.upto(w-1) do |i|
    dp[0][i] = 0
end

if w == 1
    puts 1
    exit
end

1.upto(h) do |i|
    0.upto(w-1) do |j|
        dp[i][j] = 0
        if(j==0)
            dp[i][j] += dp[i-1][j] * nn[w-2]
            dp[i][j] += dp[i-1][j+1] * nn[[0,w-3].max]
        elsif(j==w-1)
            dp[i][j] += dp[i-1][j] * nn[w-2]
            dp[i][j] += dp[i-1][j-1] * nn[[0,w-3].max]
        else
            n = nn[[0,j-2].max]
            n *= nn[[0,w-2-j].max]
            dp[i][j] += dp[i-1][j-1] * n

            n = nn[j-1]
            n *= nn[[0,w-2-j].max]
            dp[i][j] += dp[i-1][j] * n

            n = nn[j-1]
            n *= nn[[0,w-3-j].max]
            dp[i][j] += dp[i-1][j+1] * n
        end
        dp[i][j] = dp[i][j] % MOD
    end
end

puts dp[h][k-1] % MOD